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By tianyongcan
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这是一份为你准备的《数字图像处理》开卷考试速查与复习资料。针对你提到的四个重点，我整理了核心公式、解题步骤以及经典例题。

开卷考试的特点是“重思路、重步骤”，所以我在下面使用了表格和分步推导，方便你快速查阅。

第一部分：直方图均衡化 (Histogram Equalization)

考点核心： 将原图集中的灰度分布，映射到整个灰度范围，增强对比度。

1. 核心公式与步骤

假设图像总像素数为 $N$，灰度级为 $L$ (通常 $L=256$，即0-255；考试有时会用 $L=8$，即0-7)。

  1. 统计： 计算每个灰度级 $r_k$ 出现的次数 $n_k$。

  2. 归一化（计算概率）： $p_r(r_k) = \frac{n_k}{N}$

  3. 计算累计分布函数 (CDF)： $S_k = \sum_{j=0}^{k} p_r(r_j)$

  4. 映射与取整： $s_k = \text{round}[(L-1) \times S_k]$

    • 注意：$\text{round}$ 表示四舍五入到最近的整数。

2. 经典例题（必看）

题目： 假设有一幅 $64 \times 64$ 像素的图像 ($N=4096$)，灰度级为 8 级 ($0 \sim 7$)。灰度分布如下表，请计算均衡化后的灰度值。

灰度级 rk​像素数 nk​
0790
11023
2850
3656
4329
5245
6122
781

解题过程（考试直接画这个表）：

  1. 总像素 $N$ = 4096

  2. 最大灰度 $L-1$ = 7

rk​ (原灰度)nk​ (数量)pr​(rk​)=nk​/N (概率)Sk​ (累计概率)(L−1)×Sk​ (计算映射)sk​ (四舍五入后新灰度)
07900.190.19$7 \times 0.19 = 1.33$1
110230.25$0.19+0.25=0.44$$7 \times 0.44 = 3.08$3
28500.21$0.44+0.21=0.65$$7 \times 0.65 = 4.55$5
36560.16$0.65+0.16=0.81$$7 \times 0.81 = 5.67$6
43290.08$0.81+0.08=0.89$$7 \times 0.89 = 6.23$6
52450.06$0.89+0.06=0.95$$7 \times 0.95 = 6.65$7
61220.03$0.95+0.03=0.98$$7 \times 0.98 = 6.86$7
7810.02$0.98+0.02=1.00$$7 \times 1.00 = 7.00$7

最终映射关系： $0 \to 1, 1 \to 3, 2 \to 5, 3 \to 6, 4 \to 6, 5 \to 7, 6 \to 7, 7 \to 7$。

第二部分：HDR (高动态范围) 技术

考点核心： 概念理解与处理流程（通常不考复杂计算，主要考流程原理）。

1. 核心概念

  • 动态范围 (Dynamic Range): 场景中从最亮到最暗的光照强度比值。

  • 问题： 普通相机（SDR）只有8位（0-255），无法同时记录极亮和极暗的细节。

  • HDR原理： 使用32位浮点数记录亮度，远超人眼识别范围。

2. HDR 生成三步曲（答题模板）

如果考简答题或流程题，按这个顺序写：

  1. 多重曝光获取 (Acquisition):

    • 拍摄多张不同曝光时间（Shutter Speed）的照片（欠曝拍高光，过曝拍阴影）。

  2. 合成 (Merging/Fusion):

    • 将这些照片合成为一张 辐照度图 (Irradiance Map)。

    • 利用相机响应函数 (CRF) 恢复真实的线性亮度值。

    • 常用算法关键词：Debevec算法。

  3. 色调映射 (Tone Mapping) [最重要的一步]:

    • 目的： HDR图像也是32位数据，普通显示器只能显示8位。必须把“宽范围”压缩回“窄范围”才能显示。

    • 方法：

      • 全局映射 (Global): 对全图用同一个函数压缩（如对数变换 $y = \log(x)$）。简单但容易丢细节。

      • 局部映射 (Local): 根据邻域像素调整，保留局部对比度（看起来更清楚）。

第三部分：霍夫曼编码 (Huffman Coding)

考点核心： 变长编码，概率越大编码越短。

1. 解题算法（造树法）

  1. 排序： 将所有符号按概率从小到大排列。

  2. 合并： 取出概率最小的两个节点，将其相加形成一个新节点（新概率为两者之和）。

  3. 重复： 将新节点放回列表中重新排序，重复步骤2，直到只剩一个根节点（概率和为1）。

  4. 编码： 画出二叉树，左分支标 0，右分支标 1（或反之，只要统一即可）。

2. 经典例题

题目： 对符号集 ${a_1, a_2, a_3, a_4, a_5}$ 进行霍夫曼编码，概率分别为 ${0.4, 0.2, 0.2, 0.1, 0.1}$。

解题过程：

  • 第1步： 排序 ${0.1, 0.1, 0.2, 0.2, 0.4}$

    • 最小的是 $a_4(0.1)$ 和 $a_5(0.1)$。

    • 合并 $\to 0.2$。

  • 第2步： 新列表 ${0.2(\text{新}), 0.2(a_2), 0.2(a_3), 0.4(a_1)}$

    • 最小的是 $0.2(\text{新})$ 和 $a_2(0.2)$ (顺序无所谓)。

    • 合并 $\to 0.4$。

  • 第3步： 新列表 ${0.2(a_3), 0.4(\text{新}), 0.4(a_1)}$

    • 最小的是 $a_3(0.2)$ 和 $0.4(\text{新})$。

    • 合并 $\to 0.6$。

  • 第4步： 新列表 ${0.4(a_1), 0.6(\text{新})}$

    • 合并 $\to 1.0$。

树结构与编码（假设左0右1）：

  • $a_1 (0.4) \to$ 0

  • $a_2 (0.2) \to$ 10

  • $a_3 (0.2) \to$ 110

  • $a_4 (0.1) \to$ 1110

  • $a_5 (0.1) \to$ 1111

    (注：具体编码值取决于你合并时的左右摆放，但码长是固定的：概率越小，码长越长)

平均码长计算：

$L_{avg} = \sum p(a_i) \times \text{length}(a_i)$

$L_{avg} = 0.4\times1 + 0.2\times2 + 0.2\times3 + 0.1\times4 + 0.1\times4 = 0.4 + 0.4 + 0.6 + 0.4 + 0.4 = 2.2 \text{ bits/symbol}$

第四部分：算术编码 (Arithmetic Coding)

考点核心： 将整个消息编码为一个实数区间 $[0, 1)$ 中的一个数值。

1. 核心公式

新区间 = 旧区间下界 + (旧区间长度 $\times$ 当前符号的累计概率范围)

  • $Low_{new} = Low_{old} + Range_{old} \times Low_Range(Symbol)$

  • $High_{new} = Low_{old} + Range_{old} \times High_Range(Symbol)$

2. 经典例题

题目： 设信源符号为 ${A, B, C}$，概率分别为 $P(A)=0.2, P(B)=0.3, P(C)=0.5$。请对序列 “BAC” 进行编码。

解题准备（画出初始区间）：

  • A: $[0, 0.2)$

  • B: $[0.2, 0.5)$ (因为 $0.2+0.3=0.5$)

  • C: $[0.5, 1.0)$

编码过程：

初始状态： 区间 $[0, 1)$，长度 $Range = 1$。

  1. 输入符号 ‘B’ (对应范围 $[0.2, 0.5)$):

    • $Low = 0 + 1 \times 0.2 = 0.2$

    • $High = 0 + 1 \times 0.5 = 0.5$

    • 当前区间： $[0.2, 0.5)$，当前长度： $0.3$

  2. 输入符号 ‘A’ (对应范围 $[0, 0.2)$):

    • 这里要在上一步的区间 $[0.2, 0.5)$ 里面，按比例截取 A 的那一段。

    • $Low = 0.2 + 0.3 \times 0.0 = 0.2$

    • $High = 0.2 + 0.3 \times 0.2 = 0.26$

    • 当前区间： $[0.2, 0.26)$，当前长度： $0.06$

  3. 输入符号 ‘C’ (对应范围 $[0.5, 1.0)$):

    • 这里要在上一步的区间 $[0.2, 0.26)$ 里面，按比例截取 C 的那一段。

    • $Low = 0.2 + 0.06 \times 0.5 = 0.23$

    • $High = 0.2 + 0.06 \times 1.0 = 0.26$

    • 最终区间： $[0.23, 0.26)$

输出结果：

该序列 “BAC” 可以由区间 $[0.23, 0.26)$ 内的任意一个小数表示（例如 0.24 或 0.25）。在计算机中，通常会输出该区间的二进制形式。

开卷考试 Tips

  1. 直方图均衡化： 别忘了最后一步要四舍五入！并且检查所有像素的概率加起来是否等于1（或者累计概率最后是1），用来验算。

  2. 霍夫曼编码： 只要考画图，务必把树画大一点，清楚标出0和1。计算平均码长是拿分点。

  3. 算术编码： 计算小数很容易出错，带上计算器，保留足够的小数位（建议保留4-5位）。如果区间变成负数或者大于1，说明算错了。

需要我为你提供这几个部分的练习题或者更详细的代码实现（如果是机考）吗？

没问题。既然是为了应对开卷考试，你需要的内容不仅要有计算步骤，还需要有标准定义、原理背景、优缺点等理论性的描述，以便应对名词解释或简答题。

这就为你生成一份“百科全书式”的复习资料，内容更详尽、学术化，适合直接查阅和引用。

数字图像处理：开卷考试核心考点速查手册

第一部分：直方图均衡化 (Histogram Equalization)

1. 定义 (Definition)

直方图均衡化是一种用于增强图像对比度的图像处理技术。它通过对图像的灰度直方图进行变换，使变换后的图像直方图分布变得均匀（即每个灰度级出现的概率近似相等），从而扩展了像素灰度的动态范围，增加了图像的整体对比度。

2. 基本原理 (Principle)

  • 数学基础： 基于概率论中的累计分布函数 (CDF)。

  • 核心思想： 将原图像中分布密集的灰度级“拉伸”，将分布稀疏的灰度级“合并”或“压缩”。

  • 变换函数： 设 $r$ 为原图像灰度，$s$ 为变换后灰度，变换函数 $s = T(r)$ 需满足单调递增，且 $0 \le s \le L-1$。

  • 公式：

    \[s_k = T(r_k) = (L-1) \sum_{j=0}^{k} p_r(r_j)\]

    其中：

    • $r_k$：输入图像的第 $k$ 级灰度。

    • $L$：灰度级总数（通常为256）。

    • $p_r(r_j)$：第 $j$ 级灰度出现的概率（即归一化直方图）。

    • $\sum p_r(r_j)$：累计分布函数 (CDF)。

3. 详细计算步骤 (标准解题流程)

假设图像大小为 $M \times N$，灰度级为 $L$。

  1. 统计直方图： 计算原图中每个灰度级 $r_k$ 出现的像素个数 $n_k$。

  2. 计算概率密度： 计算每个灰度级的概率 $p_r(r_k) = \frac{n_k}{M \times N}$。

  3. 计算累计概率 (CDF)： 计算 $S_k = \sum_{j=0}^{k} p_r(r_j)$。即当前的概率加上前面所有灰度级的概率。

  4. 计算映射值： 计算 $(L-1) \times S_k$。

  5. 取整输出： 对上一步结果进行四舍五入，得到新的灰度级 $s_k = \text{round}[(L-1)S_k]$。

4. 优缺点 (简答题考点)

  • 优点： 算法简单，无须参数，能自动增强对比度，使图像细节更清晰。

  • 缺点： 可能会导致背景噪声对比度增加；对于直方图原本就很密集的图像（如全黑或全白），效果可能不自然（出现伪轮廓）。

第二部分：HDR (高动态范围成像) 技术

1. 定义 (Definition)

HDR (High Dynamic Range Imaging) 是一种用来实现比普通数字图像技术更大曝光动态范围（即最亮和最暗部分的比例）的一组技术。

  • LDR (Low Dynamic Range): 普通图像（JPG/PNG），通常为8位，灰度范围 0-255。

  • HDR: 使用32位浮点数存储亮度值，能同时记录阳光下的极亮和阴影下的极暗细节。

2. 核心处理流程 (Process)

考试若问“HDR的实现步骤”，请按以下三点回答：

(1) 获取 (Acquisition) / 多重曝光

由于普通传感器动态范围有限，通常拍摄多张不同曝光时间的照片（一张欠曝保留高光细节，一张过曝保留阴影细节，一张正常曝光）。

(2) 合成与辐射度校准 (Fusion & Radiometric Calibration)

  • 相机响应函数 (CRF): 相机记录的像素值 $Z$ 与实际光照 $E$ 之间是非线性的。需要求出这个反函数 $g(Z) = \ln(E \cdot \Delta t)$。

  • 合成： 利用CRF将多张照片的像素值反推回真实的物理光照强度（Irradiance），并加权平均，生成一张辐射度图 (Irradiance Map)。这张图通常是32位浮点数据。

(3) 色调映射 (Tone Mapping) —— 这是考点重点

  • 定义： 将高动态范围（HDR）的数据压缩到低动态范围（LDR）的显示设备（如显示器）上进行显示的过程。

  • 分类：

    • 全局算子 (Global Operators): 对图像中每个像素使用相同的非线性函数（如对数变换、Gamma变换）。计算快，但容易导致局部对比度丢失。

    • 局部算子 (Local Operators): 根据像素邻域的亮度信息进行自适应调整。能很好地保留局部细节，但计算量大，可能产生光晕 (Halo) 效应。

第三部分：霍夫曼编码 (Huffman Coding)

1. 定义 (Definition)

霍夫曼编码是一种基于统计概率的无损数据压缩算法，由David Huffman于1952年提出。它是一种变长编码 (Variable-Length Code)，属于熵编码的一种。

2. 核心原理 (Principle)

  • 概率决定码长： 出现概率高的符号使用较短的编码，出现概率低的符号使用较长的编码，从而使平均码长最短。

  • 前缀性质 (Prefix Property): 任何一个字符的编码都不是另一个字符编码的前缀。这保证了在解码时不会产生歧义（无需分隔符）。

  • 最优性： 在针对独立信源进行符号级编码时，霍夫曼编码是理论上最优的。

3. 构建霍夫曼树的步骤 (Algorithm)

  1. 初始化： 将信源符号按概率从小到大排列，每个符号看作一个叶子节点。

  2. 合并： 选取概率最小的两个节点作为左右子树，构造一个新的父节点，父节点的概率为这两个子节点概率之和。

  3. 重排： 将原来的两个小节点删除，将新的父节点加入队列，重新按概率排序。

  4. 循环： 重复步骤2和3，直到队列中只剩下一个节点（根节点，概率为1）。

  5. 分配码字： 约定左分支为0，右分支为1（或反之），从根节点走到叶子节点，记录路径上的0/1序列即为该符号的编码。

4. 详解例题 (按此格式答题)

题目： 对字符串 “BCAAB” 进行霍夫曼编码。

  • 符号统计：A: 2次 (0.4), B: 2次 (0.4), C: 1次 (0.2)。

步骤：

  1. 排序： $C(0.2) < A(0.4) = B(0.4)$

  2. 第一轮合并：

    • 取最小的两个：由于只有3个，最小的是 C(0.2) 和 A(0.4) [注：也可以选B，结果不同但长度效率一样]。

    • 合并产生新节点 $N_1$，概率 = $0.2 + 0.4 = 0.6$。

    • 当前池子：$B(0.4), N_1(0.6)$。

  3. 第二轮合并：

    • 取 $B(0.4)$ 和 $N_1(0.6)$。

    • 合并产生根节点 $Root$，概率 = $1.0$。

画树与编码：

1
2
3
4
5

      [Root: 1.0]
      /        \
   B(0.4)    [N1: 0.6]
             /      \
          C(0.2)   A(0.4)

(假设左0右1)

  • B: 0

  • C: 10

  • A: 11

平均码长计算：

$L_{avg} = 0.4 \times 1 + 0.2 \times 2 + 0.4 \times 2 = 1.6 \text{ bits}$

第四部分：算术编码 (Arithmetic Coding)

1. 定义 (Definition)

算术编码是一种无损熵编码方法。与霍夫曼编码将每个符号单独映射成二进制串不同，算术编码将整个消息序列映射为实数轴上区间 $[0, 1)$ 内的一个实数（通常是一个小数）。

2. 核心原理 (Principle)

  • 区间细分： 初始区间为 $[0, 1)$。每读入一个符号，就根据该符号的概率，将当前区间按比例缩小。

  • 概率与区间： 符号的概率越大，分配给它的子区间越宽，编码所需的位数就越少。

  • 结束： 编码结束时，输出最终区间内的任意一个数（通常是最短的二进制小数）作为编码结果。

3. 递推公式 (必背)

设当前区间为 $[Low, High)$，当前区间长度 $Range = High - Low$。

符号 $x$ 的概率为 $P(x)$，其在累计概率表中的范围是 $[CDF_{low}(x), CDF_{high}(x))$。

  • 新的下界： $Low_{new} = Low + Range \times CDF_{low}(x)$

  • 新的上界： $High_{new} = Low + Range \times CDF_{high}(x)$

4. 详解例题 (表格法)

题目： 符号集 ${a, b, c}$，概率 ${0.6, 0.2, 0.2}$。求序列 “bcc” 的编码。

准备阶段：建立累计概率表

  • a: $[0.0, 0.6)$

  • b: $[0.6, 0.8)$ (因为 $0.6+0.2=0.8$)

  • c: $[0.8, 1.0)$

编码过程：

步骤输入符号原区间 [Low,High)区间宽度 Range计算过程新区间
Start-$[0.0, 1.0)$1.0--
1b$[0.0, 1.0)$1.0$L = 0 + 1 \times 0.6 = 0.6$



$H = 0 + 1 \times 0.8 = 0.8$		$[0.6, 0.8)$
2c$[0.6, 0.8)$0.2注：c的范围是 $[0.8, 1.0)$



$L = 0.6 + 0.2 \times 0.8 = 0.76$



$H = 0.6 + 0.2 \times 1.0 = 0.80$		$[0.76, 0.8)$
3c$[0.76, 0.8)$0.04注：c的范围是 $[0.8, 1.0)$



$L = 0.76 + 0.04 \times 0.8 = 0.792$



$H = 0.76 + 0.04 \times 1.0 = 0.800$		$[0.792, 0.8)$

最终结果：

序列 “bcc” 可以用区间 $[0.792, 0.8)$ 之间的任意数值表示（例如 0.795）。

解码验证 (如果考解码)：

拿到 0.795：

  1. 0.795 落在 $[0.6, 0.8)$ 之间 $\to$ 第一个符号是 b。

  2. 去掉 b 的影响：$(0.795 - 0.6) / 0.2 = 0.975$。

  3. 0.975 落在 $[0.8, 1.0)$ 之间 $\to$ 第二个符号是 c。

  4. 去掉 c 的影响：$(0.975 - 0.8) / 0.2 = 0.875$。

  5. 0.875 落在 $[0.8, 1.0)$ 之间 $\to$ 第三个符号是 c。

希望这份“定义+原理+步骤”的详细资料能更符合你的开卷考试需求！祝考试顺利！

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